楕円軌道の三次元図示

(2021/01/02)
　軌道図を描くと、より式の説明が伝えやすくなることがわかりました。今後は軌道図を積極的に描いていきたいと思います。ただ、天体が三個以上あると、すべての天体が同一平面上で軌道を通ることはありません。三次元の座標が必要になります。しかし、画面は二次元であり、三次元の座標を表すには制約があり、工夫が必要になってきます。この記事では、今後、三次元座標の軌道を表すための目安をお知らせします。
　楕円軌道の形状を決めるには、軌道長半径(a)と離心率(ε)があれば十分です。しかし、三次元座標を決めるには、近点引数(ω)、軌道傾角(ι)、昇交点角(Ω)を加える必要があります。ぞれぞれがゼロのときと非ゼロのときを図で示します。

ω=0、ι=0、Ω=0

近点距離: $q=a(1-ε)$
$\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta}\left(\begin{array}{r}\cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \end{array}\right)$

　近点と遠点を示すために原点に向かって短い補助線を伸ばします。Y軸と交わる点にも原点方向に向かって短い補助線を伸ばします。軌道短半径を示すために、軌道短半径に当たる座標から楕円の中心に向かって短い補助線線を伸ばします。進行方向を示すために、近点から進行方向に向かって、小さな正方形を描きます。

ω≠0、ι=0、Ω=0

近点距離: $q=a(1-ε)$
$\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta}\left(\begin{array}{r}\cos(\theta+\omega) \\ \sin(\theta+\omega) \\ 0 \end{array}\right)$

　近点引数(ω)で回転を行うことで各補助線が X軸・ Y軸からずれても、楕円の近点遠点・軌道短半径の位置がわかります。

ω≠0、ι≠0、Ω=0

近点距離: $q=a(1-ε)$
$\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta}\left(\begin{array}{r}\cos(\theta+\omega) \\ \sin(\theta+\omega)\cos\iota \\ \sin\iota \end{array}\right)$

　軌道傾角(ι)で軌道を傾けます。Z軸上方から真下に見ることでしか図を示せないので、Y座標に cos(ι) を掛けて、縦方向に縮めることで示します。この時、軌道面と X軸が交わる点に短い補助線を二本引きます。一本は原点方向に、一本は Z軸上方に向けて引きます。なお、この線の縦横比から cos(ι) を見積もれます。

ω≠0、ι≠0、Ω≠0

近点距離: $q=a(1-ε)$
$\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta} \left(\begin{array}{r} \cos(\theta+\omega)\cos\Omega - \sin(\theta+\omega)\sin\Omega\cos\iota \\ \cos(\theta+\omega)\sin\Omega + \sin(\theta+\omega)\cos\Omega\cos\iota \\ \sin(\theta+\omega)\sin\iota \end{array}\right)$