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円錐曲線軌道と極座標のまとめ

軌道

(2020/12/30)
　極座標を使うことで、円錐曲線に含まれる正円、楕円、放物線、双曲線がすべて同じ軌道位置と軌道速度(v)の式で表せることがわかりました。そうなると、経過時間(t)と移動距離(l)も同じ式になると思われます。この記事で全ての式をまとめてみます。

正円、楕円に限った場合

　軌道長半径を a、離心率を ε、公転周期を P とします。

  • 軌道位置: (x,y)=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}(cos\theta,\sin\theta)
  • 軌道速度: \vec{v}=\frac{2\pi a}{P\sqrt{1-\varepsilon^2}}(-\sin\theta,\cos\theta+\varepsilon)
  • 経過時間: t=\frac{P}{2\pi}(1-\varepsilon^2)^\frac{3}{2}\int\frac{1}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2}d\theta
  • 移動距離: l=a(1-\varepsilon^2)\int\frac{\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2}d\theta

放物線、双曲線に広げた場合

　放物線と双曲線は開いた曲線なので、軌道長半径(a)や公転周期(P)が実体としてありません。代わりに近点距離(q)と近点最小速度(V)を導入します。近点最小速度(V)は、ここで新たに定めた用語です。これは、近点距離(q)を半径とする円軌道を公転する速度と一致します。これより遅いと、さらに主星に近づき近点距離(q)を保てません。

　軌道長半径(a)と公転周期(P)を近点距離(q)と近点最小速度(V)に置き換えることで、楕円軌道の式を放物線、双曲線にまで広げることができます。

  • 軌道位置: (x,y)=\frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta}(cos\theta,\sin\theta)
  • 軌道速度: \vec{v}=\frac{V}{\sqrt{1+\varepsilon}}(-\sin\theta,\cos\theta+\varepsilon)
  • 経過時間: t=\frac{q}{V}(1+\varepsilon)^\frac{3}{2}\int\frac{1}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2}d\theta
  • 移動距離: l=q(1+\varepsilon)\int\frac{\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2}d\theta

　経過時間と移動距離はまだ区分求積法による検算を行っていませんが、今のところ正しいと思われます。検算は今後の記事で必要になったときに行います。なお、式の変形には下記の計算を用いました。

  • 軌道位置と経過時間で使用
    • \because a(1-\varepsilon^2)=a(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)=q(1+\varepsilon)
  • 軌道速度で使用
    • \because\frac{2\pi a}{P\sqrt{1-\varepsilon^2}}=\frac{2\pi a V(1-\varepsilon)^\frac{3}{2}}{2\pi q\sqrt{1-\varepsilon^2}}=\frac{V(1-\varepsilon)^\frac{3}{2}}{(1-\varepsilon)\sqrt{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)}}=\frac{V}{\sqrt{1+\varepsilon}}
  • 経過時間で使用
    • \because\frac{P}{2\pi}(1-\varepsilon^2)^\frac{3}{2}=\frac{2\pi q\{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)\}^\frac{3}{2}}{2\pi V(1-\varepsilon)^\frac{3}{2}}=\frac{q}{V}(1+\varepsilon)^\frac{3}{2}

X Y Ω ω