三次元の円錐曲線軌道と軌道速度

(2020/12/27)
　いよいよ、正円、楕円、放物線、双曲線を含めたすべての円錐曲線の軌道速度ベクトルを三次元で表します。近点距離を q、離心率を ε、偏角を θ、近点距離を半径とする正円の軌道速度を V とすると次の式が成り立ちます。

正円(半径:q)の軌道速度: $V=\frac{2\pi q}{P}$ (P は公転周期)
軌道速度ベクトル: $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{array}\right) = \frac{V}{\sqrt{1+\varepsilon}}\left(\begin{array}{r} -\sin\theta \\ \cos\theta+\varepsilon \\ 0 \end{array}\right)$

　まず、XY 平面上で、近点引数(ω)で回転させます。

$\vec{v'}=\left(\begin{array}{r} \Delta x' \\ \Delta y' \\ \Delta z' \end{array}\right) = \frac{V}{\sqrt{1+\varepsilon}}\left(\begin{array}{r} -\sin(\theta+\omega)-\varepsilon\sin\omega \\ \cos(\theta+\omega)+\varepsilon\cos\omega \\ 0 \end{array}\right)$

　次に、軌道傾角(ι)と昇交点角(Ω)を用いて三次元に回転させることで、三次元の軌道速度ベクトルが求まります。

$\left(\begin{array}{r} \Delta X \\ \Delta Y \\ \Delta Z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} \cos\Omega & -\sin\Omega & 0 \\ \sin\Omega & \cos\Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\iota & -\sin\iota \\ 0 & \sin\iota & \cos\iota\end{array}\right)\left(\begin{array}{r} \Delta x' \\ \Delta y' \\ 0 \end{array}\right)$
$= \left(\begin{array}{rrr} \cos\Omega & -\sin\Omega & 0 \\ \sin\Omega & \cos\Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} \Delta x’ \\ \Delta y’\cos\iota \\ \Delta y'\sin\iota \end{array}\right)$
$= \left(\begin{array}{r} \Delta x'\cos\Omega - \Delta y'\sin\Omega\cos\iota \\ \Delta x'\sin\Omega + \Delta y'\cos\Omega\cos\iota \\ \Delta y'\sin\iota \end{array}\right)$

　Δx'、Δy' を置き換えます。

$\left(\begin{array}{r} \Delta X \\ \Delta Y \\ \Delta Z \end{array}\right) = \frac{V}{\sqrt{1+\varepsilon}} \left(\begin{array}{r} -\sin(\theta+\omega)\cos\Omega - \cos(\theta+\omega)\sin\Omega\cos\iota \\ -\sin(\theta+\omega)\sin\Omega + \cos(\theta+\omega)\cos\Omega\cos\iota \\ \cos(\theta+\omega)\sin\iota \end{array}\right)$
$+ \frac{V\varepsilon}{\sqrt{1+\varepsilon}} \left(\begin{array}{r} -\sin\omega\cos\Omega - \cos\omega\sin\Omega\cos\iota \\ \sin\omega\sin\Omega + \cos\omega\cos\Omega\cos\iota \\ \cos\omega\sin\iota \end{array}\right)$

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