三次元の円錐曲線軌道と極座標

(2020/12/25)
　円錐曲線が、正円も楕円も放物線も双曲線もすべての同じ極座標式で表せることから、三次元の座標も個別対応することなく統一的に表せます。
　近点距離を q、離心率を ε、共通重心を (0,0,0)、近点座標を (q,0,0) としたとき、XY 平面上の円錐曲線軌道は次の式で表せます。

$\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta}\left(\begin{array}{r}\cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \end{array}\right)$

　なお、正円や楕円のように閉じた曲線では近点距離(q)と離心率(ε)と軌道長半径(a)は次の関係で表せます。

$a(1-\varepsilon)=q$

　放物線や双曲線は閉じた曲線でないので、実体としての軌道長半径(a)はありませんが、理論上は、放物線の軌道長半径は無限大(∞)になり、双曲線の軌道長半径は負数になります。
　まず、XY 平面上で、近点引数(ω)で回します。

$\left(\begin{array}{r} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta}\left(\begin{array}{r}\cos(\theta+\omega) \\ \sin(\theta+\omega) \\ 0 \end{array}\right)$

　次に、軌道傾角(ι)と昇交点角(Ω)を用いて三次元回転行列で回すことで、三次元の座標が求まります。

$\left(\begin{array}{r} X \\ Y \\ Z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} \cos\Omega & -\sin\Omega & 0 \\ \sin\Omega & \cos\Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\iota & -\sin\iota \\ 0 & \sin\iota & \cos\iota\end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x' \\ y' \\ 0 \end{array}\right)$
$= \left(\begin{array}{rrr} \cos\Omega & -\sin\Omega & 0 \\ \sin\Omega & \cos\Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x' \\ y'\cos\iota \\ y'\sin\iota \end{array}\right)$
$= \left(\begin{array}{r} x'\cos\Omega - y'\sin\Omega\cos\iota \\ x'\sin\Omega + y'\cos\Omega\cos\iota \\ y'\sin\iota \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{r} X \\ Y \\ Z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta} \left(\begin{array}{r} \cos(\theta+\omega)\cos\Omega - \sin(\theta+\omega)\sin\Omega\cos\iota \\ \cos(\theta+\omega)\sin\Omega + \sin(\theta+\omega)\cos\Omega\cos\iota \\ \sin(\theta+\omega)\sin\iota \end{array}\right)$

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