円錐曲線軌道の三次元図示

(2021/01/02)
　楕円軌道だけでなく、すべての円錐曲線に対して、軌道図を説明します。ここでは放物線軌道を例にします。双曲線軌道も原則は同じです。放物線や双曲線は、曲線が閉じることがないので、軌道長半径(a)は存在しません。他の指標が必要です。円錐曲線全部に共通で存在する近点距離(q)を使用します。近点距離(q)と離心率(ε)と傾角(θ)を使うことで、近点を X軸正の位置に置いた軌道図を描きます。その後、近点引数(ω)、軌道傾角(ι)、昇交点角(Ω)で順番に回転を行うことで、三次元の座標位置に移ります。

ω=0、ι=0、Ω=0

$\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta}\left(\begin{array}{r}\cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \end{array}\right)$

　近点位置は X軸上にあります。進行方向外側に小さな正方形を置きます。近点位置から原点方向に短い線を引きます。同様に、Y軸との交差点から原点方向に短い線を引きます。

ω≠0、ι=0、Ω=0

$\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta}\left(\begin{array}{r}\cos(\theta+\omega) \\ \sin(\theta+\omega) \\ 0 \end{array}\right)$

　近点引数(ω)で回転を行います。近点引数(ω)がゼロのときは、それぞれ、X軸上、Y軸上にあった補助線が別に位置に移ります。

ω≠0、ι≠0、Ω=0

$\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta}\left(\begin{array}{r}\cos(\theta+\omega) \\ \sin(\theta+\omega)\cos\iota \\ \sin\iota \end{array}\right)$

　軌道傾角(ι)で縦横比を変えます。軌道面は、X軸で XY平面と交わるので、交わった点から、原点方向と Z座標が正になる方向に向けて、小さな線を引きます。この補助線の縦横比が cos(ι) と等しくなります。

ω≠0、ι≠0、Ω≠0

$\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon\cos\theta} \left(\begin{array}{r} \cos(\theta+\omega)\cos\Omega - \sin(\theta+\omega)\sin\Omega\cos\iota \\ \cos(\theta+\omega)\sin\Omega + \sin(\theta+\omega)\cos\Omega\cos\iota \\ \sin(\theta+\omega)\sin\iota \end{array}\right)$