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楕円軌道と時空座標

公転

(2020/12/18)
X Y (0,0,0) Ω ω θ (x,y,z) (-2aε(cos ω cos Ω-sin ω sin Ω cos ι) ,-2aε(cos ω sin Ω-sin ω cos Ω cos ι ,-2aε sin ω sin ι)

　前回の記事*1で楕円軌道上の経過時間が導き出せたので、天体の位置を特定するための時間と空間が全てそろいました。改めてまとめてみます。
　軌道長半径を a、離心率を ε、近点引数を ω、軌道傾角を ι、昇交点角を Ω、公転周期を P とすると、天体の座標 (x, y, z) と近点からの経過時間(t)は、すべて近点からの偏角(θ)によって定まります。

  • x=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\{\cos(\theta+\omega)\cos\Omega - \sin(\theta+\omega)\sin\Omega\cos\iota\}
  • y=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\{\cos(\theta+\omega)\sin\Omega + \sin(\theta+\omega)\cos\Omega\cos\iota\}
  • z=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\sin(\theta+\omega)\sin\iota
  • t=\frac{P}{2\pi}(1-\varepsilon^2)^{\frac{3}{2}}\int\frac{1}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2}d\theta

　三次元座標変換の詳細は次の記事を参照してください。

*1:楕円軌道と経過時間 - AstroZone