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二次元の楕円軌道と極座標

軌道

(2020/10/08)
　軌道長半径 a、離心率 ε、共有重心座標 (0, 0)、空焦点座標 (-2aε, 0) としたとき、二次元の楕円軌道は下記の方程式で表されます。

$\sqrt{(x+2aε)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}=2a$

　これを共有重心座標を中心とした極座標で表します。
　上記に、 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ を当てはめます。

$\sqrt{(r\cos\theta+2a\varepsilon)^2+r^2\sin^2\theta}+\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=2a$
$\sqrt{r^2+4a\varepsilon r\cos\theta+4a^2 \varepsilon^2}+r=2a$
$r^2+4a\varepsilon r\cos\theta+4a^2 \varepsilon^2=(2a-r)^2=4a^2-4ar+r^2$
$r^2+4a(\varepsilon r\cos\theta+a\varepsilon^2)=r^2-4a(r-a)$
$\varepsilon r\cos\theta+a\varepsilon^2+r-a=0$
$r(1+\varepsilon\cos\theta)-a(1-\varepsilon^2)=0$
$r=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}$

　ここで、求めた r の値を当初の式に代入します。

$x=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\cos\theta$
$y=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\sin\theta$

　これを、近点引数 ω で回転します。

$x=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\cos(\theta+\omega)$
$y=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\sin(\theta+\omega)$

検算、ω =０のとき

　 $\theta=0$ のとき原点から最短距離になります。

$x=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos 0}\cos 0=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon}=\frac{a(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon}=a(1-\varepsilon)$

　 $\theta=\pi$ のとき原点から最長距離になります。

$x=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\pi}\cos\pi=-\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon}=-\frac{a(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)}{1-\varepsilon}=-a(1+\varepsilon)$

　参考までに、 $\theta=\frac{\pi}{2}$ のときを計算します。

$y=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\frac{\pi}{2}}\sin\frac{\pi}{2}=a(1-\varepsilon^2)$