楕円軌道と移動距離

(2020/12/19)

　前回、軌道速度(v)を導き出したので、今回は、移動距離(l)を導き出してみます。なお、軌道長半径を a、離心率を ε、公転周期を P としています。

軌道速度*1: $v=\frac{2\pi a\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}{P\sqrt{1-\varepsilon^2}}$

　軌道速度(v)は本来時間(t)による変移なのですが、上の式では角度(θ)による変移になっています。時間と角度の関係が必要です。ここで角速度(Δθ)の式を思い出してください。

角速度*2: $\Delta\theta=\frac{2\pi(1+\varepsilon\cos\theta)^2}{P(1-\varepsilon^2)^\frac{3}{2}}=\frac{d\theta}{dt}$

　微小区画の関係は下の通りです。

$v=\frac{dl}{dt}=\frac{dl\Delta\theta}{d\theta}$
$dl=\frac{v d\theta}{\Delta\theta}=\frac{2\pi a\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}{P\sqrt{1-\varepsilon^2}}\frac{P(1-\varepsilon^2)^\frac{3}{2}}{2\pi(1+\varepsilon\cos\theta)^2}d\theta$
$=\frac{a(1-\varepsilon^2)\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2}d\theta$