楕円軌道と経過時間

(2020/12/18)

　天体の位置を決めるには、空間情報だけでは不十分で、経過時間(t)を組み込む必要があります。前回の記事で求めた角速度(Δθ)の式から経過時間(t)と偏角(θ)との関係を求めます。なお、ε は離心率で、P は公転周期です。

角速度*1: $\Delta\theta=\frac{2\pi(1+\varepsilon\cos\theta)^2}{P(1-\varepsilon^2)^\frac{3}{2}}=\frac{d\theta}{dt}$

　上記の式から、微小角度(dθ)を右辺に、微小時間(dt)を左辺に移して、式を整えます。

$dt=\frac{P(1-\varepsilon^2)^{\frac{3}{2}}}{2\pi(1+\varepsilon\cos\theta)^2}d\theta$

　不定積分により偏角(θ)と経過時間(t)の関係が表せます。

$t=\frac{P}{2\pi}(1-\varepsilon^2)^{\frac{3}{2}}\int\frac{1}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2}d\theta$

　上記の式は楕円積分に似ているので、解析学的に不定積分を解くのはあきらめて、区分求積法で値を求めます。区分幅は 0.001°です。公転周期(P)を 1 としたときに、離心率(ε)ごとに、近点からの偏角(θ)と経過時間(t)の関係を表にまとめます。

↓θ＼ε→	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8
0°	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
15°	0.0417	0.0273	0.0165	0.0084	0.0028
30°	0.0833	0.0553	0.0336	0.0173	0.0058
45°	0.1250	0.0845	0.0521	0.0271	0.0092
60°	0.1667	0.1157	0.0729	0.0386	0.0133
75°	0.2083	0.1495	0.0971	0.0527	0.0186
90°	0.2500	0.1868	0.1262	0.0712	0.0260
105°	0.2917	0.2281	0.1620	0.0965	0.0374
120°	0.3333	0.2741	0.2068	0.1327	0.0564
135°	0.3750	0.3249	0.2629	0.1860	0.0913
150°	0.4167	0.3802	0.3317	0.2639	0.1601
165°	0.4583	0.4391	0.4122	0.3710	0.2933
180°	0.5000	0.5000	0.5000	0.5000	0.5000

　離心率(ε)が 0 のときは、正円であり、等角速度運動になり、偏角(θ)と経過時間(t)が正比例します。離心率(ε)が大きくなると、90° までは早く進みますが、90° を過ぎてから徐々に遅くなり、楕円を半周した 180° のときは、離心率(ε)が何であれ、経過時間(t)は 0.5 になります。