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楕円軌道と進行方向ベクトル

公転

(2020/12/18)
　天体の軌道速度を求める前準備として、楕円軌道上にある天体の進行方向ベクトルを求めます。二次元で導き出します。軌道長半径を a、離心率を ε とします。

  • 中心座標 (-a\varepsilon, 0)、焦点座標 (-2a\varepsilon, 0), (0, 0) のとき、
  • 楕円軌道: \sqrt{(x+2a\varepsilon)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}=2a

X Y (0,0) (-2aε, 0) (x, y) θ

　楕円の特徴として、片方の焦点から出た光は、もう一方の焦点に着きます。楕円曲線に対して光が反射するときは左右の角度が等しくなります。楕円曲線上の点から、二つの焦点に向けて単位ベクトルを作り、それらを合成したベクトルが楕円曲線の法線ベクトルになります。法線ベクトルと垂直なベクトルが進行方向ベクトル(接線)になります。

  • 楕円軌道上の点X: (x, y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)
  • 点Xから焦点1: \vec{n_1}=(-x,-y)=(-r\cos\theta,-r\sin\theta)
  • 点Xから焦点2: \vec{n_2}=(-x-2a\varepsilon,-y)=(-r\cos\theta-2a\varepsilon,-r\sin\theta)

　単位ベクトルにします。

  • 点Xから焦点1: \vec{N_1}=\frac{\vec{n_1}}{|\vec{n_1}|}=\frac{\vec{n_1}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\vec{n_1}}{r}=(-\cos\theta,-\sin\theta)
  • 点Xから焦点2: \vec{N_2}=\frac{\vec{n_2}}{|\vec{n_2}|}=\frac{\vec{n_2}}{\sqrt{(x+2a\varepsilon)^2+y^2}}
    =\frac{\vec{n_2}}{2a-\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\vec{n_2}}{2a-r}=(-\frac{r\cos\theta+2a\varepsilon}{2a-r},-\frac{r\sin\theta}{2a-r})

　両ベクトルを合成します。

  • \vec{n}=\vec{N_1}+\vec{N_2}=\frac{\vec{n_1}}{r}+\frac{\vec{n_2}}{2a-r}=\frac{(2a-r)\vec{n_1}+r\vec{n_2}}{r(2a-r)}
    =(\frac{-(2a-r)r\cos\theta-r(r\cos\theta+2a\varepsilon)}{r(2a-r)},\frac{-(2a-r)r\sin\theta-r^2\sin\theta}{r(2a-r)})
    =(\frac{-2ar\cos\theta-2ar\varepsilon}{r(2a-r)},\frac{-2ar\sin\theta}{r(2a-r)})=\frac{2a}{2a-r}\times(-\cos\theta-\varepsilon,-\sin\theta)

　合成したベクトルも単位ベクトルにします。

  • \vec{N}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{(\cos\theta+\varepsilon)^2+\sin^2\theta}}\times(-\cos\theta-\varepsilon,-\sin\theta)
    =\frac{1}{\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}\times(-\cos\theta-\varepsilon,-\sin\theta)

　反時計周りに 270° 回して進行方法ベクトルが出来上がります。

  • \vec{V}=\left(\begin{array}{rr} \cos 270^\circ & -\sin 270^\circ \\ \sin 270^\circ & \cos 270^\circ \end{array}\right)\vec{N}=\frac{1}{\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}\left(\begin{array}{r} -\sin\theta \\ cos\theta + \varepsilon \end{array}\right)

検算

  • \theta=0^\circ のとき \vec{V}=\frac{1}{\sqrt{1+2\varepsilon+\varepsilon^2}}(0, 1+\varepsilon)=(0,1)
  • \theta=90^\circ のとき \vec{V}=\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}(-1, \varepsilon)
  • \theta=180^\circ のとき \vec{V}=\frac{1}{\sqrt{1-2\varepsilon+\varepsilon^2}}(0, -1+\varepsilon)=(0,-1)
  • \theta=270^\circ のとき \vec{V}=\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}(1, \varepsilon)