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楕円軌道と軌道速度

公転

(2020/12/18)

　楕円軌道上の天体の位置を極座標形式で表し、それを楕円軌道の式に代入して距離(r)を求めます。距離(r)は軌道長半径(a)と離心率(ε)と傾角(θ)で表されます。

位置: $(x, y)=(r\cos\theta,y\sin\theta)$
楕円軌道: $\sqrt{(x+2a\varepsilon)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}=2a$
距離*1: $r=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}$

　前回求めた進行方向ベクトルと天体の位置(X)から原点へのベクトルを用いて、両者の外積から軌道速度(v)と面積速度(ΔS)の関係を導き出します。

進行方向*2: $\vec{V}=\frac{1}{\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}(-\sin\theta, cos\theta + \varepsilon)$
原点方向: $\vec{XO}=(-r\cos\theta, -r\sin\theta)$
$\Delta S=\frac{1}{2}v|\vec{V}\times\vec{XO}|$
$=\frac{vr}{2\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}|sin^2\theta+\cos^2\theta+\varepsilon\cos\theta|$
$=\frac{vr(1+\varepsilon\cos\theta)}{2\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}=\frac{va(1-\varepsilon^2)}{2\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}$
$v=\frac{2\Delta S \sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}{a(1-\varepsilon^2)}$

　面積速度(ΔS)は、軌道長半径(a)、離心率(ε)、公転周期(P)から別の式で表せます。

*3: $\Delta S=\frac{\pi a^2\sqrt{1-\varepsilon^2}}{P}$

　したがって、軌道速度(v) は面積速度(ΔS)を消すことで求まります。

軌道速度: $v=\frac{2\pi a\sqrt{1+2\varepsilon\cos\theta+\varepsilon^2}}{P\sqrt{1-\varepsilon^2}}$

*1:二次元の楕円軌道、極座標 - AstroZone

*2:楕円軌道と進行方向ベクトル - AstroZone

*3:楕円軌道とケプラーの法則 - AstroZone