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三次元の楕円軌道と極座標

(2020/10/08)

 軌道長半径 a、離心率 ε、 共有重心座標 (0, 0, 0)、近点引数 ω としたとき、XY平面上にある楕円軌道は下記の式で表されます*1

  •  x = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\cos(\theta+\omega)
  •  y = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\sin(\theta+\omega)
  •  z = 0

 この軌道に対して、軌道傾角 ι、昇交点角 Ω の回転行列で座標変換を行うと、三次元の楕円軌道が求まります。

 \left(\begin{array}{r} X \\ Y \\ Z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} \cos\Omega & -\sin\Omega & 0 \\ \sin\Omega & \cos\Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\iota & -\sin\iota \\ 0 & \sin\iota & \cos\iota\end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ 0 \end{array}\right)

 \left(\begin{array}{r} X \\ Y \\ Z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} \cos\Omega & -\sin\Omega & 0 \\ \sin\Omega & \cos\Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x \\ y\cos\iota \\ y\sin\iota \end{array}\right)

 \left(\begin{array}{r} X \\ Y \\ Z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} x\cos\Omega - y\sin\Omega\cos\iota \\ x\sin\Omega + y\cos\Omega\cos\iota  \\ y\sin\iota  \end{array}\right)

  •  X = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\{\cos(\theta+\omega)\cos\Omega - \sin(\theta+\omega)\sin\Omega\cos\iota \}
  •  Y = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\{\cos(\theta+\omega)\sin\Omega + \sin(\theta+\omega)\cos\Omega\cos\iota \}
  •  Z = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\sin(\theta+\omega)\sin\iota

ω=0, ι=0, Ω=0

X Y (0,0,0) (-2aε,0,0) (x,y,0) θ Z Y

ω≠0, ι=0, Ω=0

X Y (0,0,0) θ ω (x,y,0) (-2aε cos ω ,-2aε sin ω ,0) Z Y

ω≠0, ι≠0, Ω=0

X Y (0,0,0) θ ω (x,y,z) (-2aε cos ω ,-2aε sin ω cos ι ,-2aε sin ι) Z Y ι

ω≠0, ι≠0, Ω≠0

X Y (0,0,0) Ω ω θ (x,y,z) (-2aε(cos ω cos Ω-sin ω sin Ω cos ι) ,-2aε(cos ω sin Ω-sin ω cos Ω cos ι ,-2aε sin ω sin ι)