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二次元の双曲線軌道と極座標

軌道

(2020/12/24)

　前回、放物線を極座標で表したのに続いて、双曲線も極座標で表します。近点距離を q、離心率を ε、共通重心を (0, 0) として、空焦点を X 軸上に置くと次のような式になります。

共通重心: $(0, 0)$
空焦点: $(\frac{2q\varepsilon}{\varepsilon-1}, 0)$
軌道: $\sqrt{(x-\frac{2q\varepsilon}{\varepsilon-1})^2+y^2}-\sqrt{x^2+y^2}=\frac{2q}{\varepsilon-1}$

　空焦点座標に分数が含まれるのは扱いづらいので、仮想軌道長半径(a)を定義します。

$a = \frac{q}{1-\varepsilon}$

　すると、双曲線軌道の式は次のように表されます。

$\sqrt{(x+2ae)^2+y^2}-\sqrt{x^2+y^2}=-2a$

　さて、極座標に変換します。

$(x,y)=(r\cos\theta,y\sin\theta)$
$\sqrt{r^2+4a\varepsilon r\cos\theta+4a^2\varepsilon^2}-r=-2a$
$r^2+4a\varepsilon r\cos\theta+4a^2\varepsilon^2=(r-2a)^2=r^2-4ar+4a^2$
$4ar+4a\varepsilon r\cos\theta=4a^2-4a^2\varepsilon^2$
$4ar(1+\varepsilon \cos\theta)=4a^2(1-\varepsilon^2)$
$r=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon \cos\theta}$

　これって、楕円軌道の距離(r)と全く同じ式です。そして、仮想軌道長半径(a)を近点距離(q)で表してみます。

$r=\frac{q}{1-\varepsilon}\frac{(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon \cos\theta}=\frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon \cos\theta}$
軌道位置: $(x,y)=\frac{q(1+\varepsilon)}{1+\varepsilon \cos\theta}(\cos\theta, \sin\theta)$

　ところで、離心率(ε)が 1 の時はどうなるでしょう？

$(x,y)=\frac{2q}{1+\cos\theta}(\cos\theta, \sin\theta)$

　これって、放物線軌道の位置と全く同じ式です。となると、極座標では、楕円軌道も放物線軌道も双曲線軌道も全く同じ式で表せることになります。