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二次元の放物線軌道と極座標

軌道

(2020/12/24)

　極座標を使うことで楕円軌道における位置、速度、速度ベクトル、経過時間、移動距離がすべて、偏角(θ)によって表せたので、放物線も極座標を扱うことにします。

　まず、天体の軌道における放物線を軽くおさらいします。共通重心を (0, 0)、近点距離を q、近点座標を (q, 0) とすると、放物線の準線は次の式で表されます。なお、放物線は閉じた曲線にならないので、実体としての軌道長半径は存在しません。

準線: $x=2q$

　放物線上の天体位置 (x, y) から、共通重心 (0, 0) までの距離と、準線までの最短距離とは等しくなるので次の式で表されます。

放物線軌道:
- $\sqrt{x^2+y^2}=2q-x$
- $x=-\frac{y^2}{4q}+q$

　さて、この式を極座標で表します。

$(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$
$\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=2q-r\cos\theta$
$r(1+\cos\theta)=2q$
$r=\frac{2q}{1+\cos\theta}$
軌道位置: $(x,y)=\frac{2q}{1+\cos\theta}(\cos\theta, \sin\theta)$