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公転軸ベクトルと三次元楕円軌道

軌道

(2020/10/12)

　今までは公転軸ベクトルを昇交点角(Ω)・軌道傾角(ι) の三次元回転行列から求めました。

  • \vec{N} = \left(\begin{array}{rrr} \cos\Omega & -\sin\Omega & 0 \\ \sin\Omega & \cos\Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\iota & -\sin\iota \\ 0 & \sin\iota & \cos\iota \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)
    = \left(\begin{array}{rrr} \cos\Omega & -\sin\Omega & 0 \\ \sin\Omega & \cos\Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} 0 \\ -\sin\iota \\ \cos\iota \end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} \sin\Omega\sin\iota \\ -\cos\Omega\sin\iota \\ \cos\iota \end{array}\right)

　他にも三次元楕円軌道の極座標式から直接求める方法もあります。

  • x = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\{\cos(\theta+\omega)\cos\Omega - \sin(\theta+\omega)\sin\Omega\cos\iota\}
  • y = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\{\cos(\theta+\omega)\sin\Omega + \sin(\theta+\omega)\cos\Omega\cos\iota\}
  • z = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\sin(\theta+\omega)\sin\iota

\left(\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\left(\begin{array}{r} \cos(\theta+\omega)\cos\Omega - \sin(\theta+\omega)\sin\Omega\cos\iota \\ \cos(\theta+\omega)\sin\Omega + \sin(\theta+\omega)\cos\Omega\cos\iota \\ \sin(\theta+\omega)\sin\iota \end{array}\right)

　スカラー \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta} の部分はベクトルとしては重要でないので省きます。

\left(\begin{array}{r} x’ \\ y' \\ z' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} \cos(\theta+\omega)\cos\Omega - \sin(\theta+\omega)\sin\Omega\cos\iota \\ \cos(\theta+\omega)\sin\Omega + \sin(\theta+\omega)\cos\Omega\cos\iota \\ \sin(\theta+\omega)\sin\iota \end{array}\right)

　 \theta+\omega = 0 のとき

\vec{p_1} = \left(\begin{array}{r} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} \cos\Omega \\ \sin\Omega \\ 0 \end{array}\right)

　 \theta+\omega = \frac{\pi}{2} のとき

\vec{p_2} = \left(\begin{array}{r} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} -\sin\Omega\cos\iota \\ \cos\Omega\cos\iota \\ \sin\iota \end{array}\right)

両者の外積を計算して、 \vec{N} = \vec{p_1} \times \vec{p_2} を求めます。

  • \vec{N} = \left(\begin{array}{r} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} y_1 z_2 - y_2 z_1 \\ z_1 x_2 - z_2 x_1 \\ x_1 y_2 - x_2 y_1 \end{array}\right)
    = \left(\begin{array}{r} \cos\Omega \\ \sin\Omega \\ 0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r} -\sin\Omega\cos\iota \\ \cos\Omega\cos\iota \\ \sin\iota \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} \sin\Omega\sin\iota-0 \\ 0-\cos\Omega\sin\iota \\ \cos\iota(\cos^2\Omega+\sin^2\Omega) \end{array}\right)
    = \left(\begin{array}{r} \sin\Omega\sin\iota \\ -\cos\Omega\sin\iota \\ \cos\iota \end{array}\right)

　全く同じ式が得られました。