(書庫) 三次元の楕円軌道

(2020/10/08)

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(2020/02/20)

　軌道長半径 a、離心率 e、共有重心座標 (0, 0, 0)、空焦点座標 (-2ae, 0, 0) としたとき、楕円軌道は下記の方程式で表される面が交差した曲線になります。

軌道面: z = 0
回転楕円面: $\sqrt{x^2+y^2+z^2} + \sqrt{(x+2ae)^2+y^2+z^2} = 2a$

　この軌道に対して、近点引数 ω、軌道傾角 i、昇交点角 Ω の回転行列で座標変換を行うと、三次元の楕円軌道が求まります。

$\left(\begin{array}{rrr} \cos Ω & -\sin Ω & 0 \\ \sin Ω & \cos Ω & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos i & -\sin i \\ 0 & \sin i & \cos i \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} \cos ω & -\sin ω & 0 \\ \sin ω & \cos ω & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{rrr} \cos Ω & -\sin Ω \cos i & \sin Ω \sin i \\ \sin Ω & \cos Ω \cos i & -\cos Ω \sin i \\ 0 & \sin i & \cos i \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} \cos ω & -\sin ω & 0 \\ \sin ω & \cos ω & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{rrr} \cos Ω \cos ω -\sin Ω \cos i \sin ω & -\cos Ω \sin ω -\sin Ω \cos i \cos ω & \sin Ω \sin i \\ \sin Ω \cos ω +\cos Ω \cos i \sin ω & -\sin Ω \sin ω +\cos Ω \cos i \cos ω & -\cos Ω \sin i \\ \sin i \sin ω & \sin i \cos ω & \cos i \end{array}\right)$

　空焦点座標は次の位置に移ります。

$\left(\begin{array}{rrr} \cos Ω \cos ω -\sin Ω \cos i \sin ω & \cdot & \cdot \\ \sin Ω \cos ω +\cos Ω \cos i \sin ω & \cdot & \cdot \\ \sin i \sin ω & \cdot & \cdot\end{array}\right)\left(\begin{array}{r} -2ae \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$
$=\left(\begin{array}{r} -2ae (\cos Ω \cos ω -\sin Ω \cos i \sin ω) \\ -2ae(\sin Ω \cos ω +\cos Ω \cos i \sin ω) \\ -2ae \sin i \sin ω \end{array}\right)$

　軌道面の式は z軸への単位ベクトル(0, 0, 1) を回転させることで求まります。

$\left(\begin{array}{rrr} x & y & z\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} \cdot & \cdot & \sin Ω \sin i \\ \cdot & \cdot & -\cos Ω \sin i \\ \cdot & \cdot & \cos i \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0$
$\left(\begin{array}{rrr} x & y & z\end{array}\right)\left(\begin{array}{r} \sin Ω \sin i \\ -\cos Ω \sin i \\ \cos i \end{array}\right)=0$
$x \sin Ω \sin i - y \cos Ω \sin i + z \cos i =0$

　回転楕円面は原点と空焦点の距離を足して軌道長半径を2倍にした位置にあります。

$\sqrt{x^2+y^2+z^2}+\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}=2a$
$X=x+2ae(\cos Ω \cos ω -\sin Ω \cos i \sin ω)$
$Y=y+2ae(\sin Ω \cos ω +\cos Ω \cos i \sin ω)$
$Z=z+2ae \sin i \sin ω$