惑星の軌道要素と火星の大接近

(2020/10/10)

　惑星の軌道要素を紹介します。

Gm: ギガメートル (giga metre): 10⁶ km
- mlh: ミリ光時 (milli light hour): 1.0792528488×10⁶ km

	軌道長半径: Gm (mlh)	離心率	近点角	軌道傾角	昇交点角
	a	ε	ω + Ω	i	Ω
水星	57.909 (53.657)	0.25064	77.7518°	7.0053°	48.5563°
金星	108.209 (100.263)	0.00676	131.8301°	3.3949°	76.8511°
地球	149.598 (138.612)	0.01670	103.2641°	-	-
火星	227.939 (211.201)	0.09342	336.4100°	1.8496°	49.7048°
木星	778.298 (721.145)	0.04853	14.6376°	1.3022°	100.6584°
土星	1,429.394 (1,324.429)	0.05549	93.4304°	2.4882°	113.8321°
天王星	2,875.039 (2,663.916)	0.04638	173.2877°	0.7733°	74.1050°
海王星	4,504.450 (4,173.675)	0.00946	48.3913°	1.7682°	131.9935°

※近点角(近日点黄経) について注記あり、軌道要素*1を参照

　次に先日紹介した三次元の楕円軌道を極座標で表した式です。

$x = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\{\cos(\theta+\omega)\cos\Omega - \sin(\theta+\omega)\cos\iota\sin\Omega\}$
$y = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\{\cos(\theta+\omega)\sin\Omega + \sin(\theta+\omega)\cos\iota\cos\Omega\}$
$z = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}\sin(\theta+\omega)\sin\iota$

　この式に地球と火星の軌道要素を代入します。

地球
- $\theta_3 = \theta + 103.2641^{\circ}$
- $x = \frac{149.556}{1+0.01670\cos\theta}\cos\theta_3$
- $y = \frac{149.556}{1+0.01670\cos\theta}\sin\theta_3$
- $z = 0$
火星
- $\theta_4 = \theta + 286.7052^{\circ}$
- $x = \frac{225.950}{1+0.09342\cos\theta}(0.646726\cos\theta_4 - 0.762325\sin\theta_4)$
- $y = \frac{225.950}{1+0.09342\cos\theta}(0.762723\cos\theta_4 + 0.646389\sin\theta_4)$
- $z = \frac{7.293}{1+0.09342\cos\theta}\sin\theta_4$

　両者の最短距離を求めます。もしかしたら、解析学的に解く方法もあるのでしょうが、計算機の時代なので、両者の θ を 0.1° ずつずらして、総当たりで求めます。
　計算結果は、 $\theta_3 = 330.6^{\circ}, \theta_4 = 330.7^{\circ}$ のとき、55.747 Gm (51.653 mlh) になります。θ = 0 のときが秋分点になるので、秋分点から 30° 前、すなわち、秋分の日から30日前の8月20日ごろに火星の大接近が見られることが計算結果からも裏付けられました。

*1:軌道要素 - AstroZone